解説：H.sin氏（機械部門）

下図に示すように，水平面に対して角度θの傾斜を持つ壁面の上を一定の厚さHの液膜が流れている。壁面では滑り無し条件，水面では滑り条件が成立し，流れは定常の層流とみなしてよい。このとき，液表面における速度Uを表す式として，適切なものはどれか。ただし，重力加速度g，液体の密度をρ，液体の粘性係数をμとする。

①ρg sinθ H2/2μ

②ρg cosθ H2/2μ

③ρg sinθ H2/μ

④ρg cosθ H2/μ

⑤g cosθ H2/μ

解説

[解くために必要な知識]

流体の運動方程式を考えます。

流れ速度をvxとした場合、

μ（d2vx/dz2）+ρgsinθ＝0

　となります。

境界条件は、平板と接している流体の速度は0となります。

vx=0 at z=0

また、自由表面においては運動量=0となるため

∂vx/∂z=0　at z=H

と表すことができます。

　では問題を解いていきます。

運動方程式を変形すると

d2vx/dz2　＝　-ρ／μ　g sinθ

となります。

1回積分をすると

dvx/dz　＝　-ρ／μ　g sinθ・ｚ　＋C1

2回積分で

vx=-ρ／2μ　g sinθ・ｚ2　＋C1z　＋C２

境界条件より積分定数を求めることができる。

vx=0 at z=0

より　

C２＝0

∂vx/∂z=0　at z=H

より

C１＝ρg sinθH／μ

vx= -ρg sinθｚ2／2μ＋ρg sinθHｚ／2μ

z=Hの流速を求めるため代入すると

vx= ρg sinθ H2/2μ

よって回答は①となります。

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