解説：H.sin氏（機械部門）

下図に示すように，水平から角度αだけ傾いた斜面に質量M，半径rの円柱を置き，静かに放す。そのときの時刻をt=0とし，その位置から斜面に沿って下向きに測った距離をx，静止状態からの円柱の回転角度をθとする。このとき、円柱と斜面の間に作用する摩擦力F（斜面に沿って上向きを正とする）により，円柱はすべらずに斜面を転がり落ちる，すなわち，x=rθが成立しているものとする。なお，中心軸周りの円柱の慣性モーメントは1/2・Mr2，重力加速度はgである。以上の条件のもとで，xとtの関係として適切なものはどれか。

①x=1/2gt2sinα

②x=1/3gt2sinα

③x=2/3gt2sinα

④x=4/3gt2sinα

⑤x=gt2sinα

解説

[解くために必要な知識]

直進運動における運動方程式

md2x/dt2=F

回転運動における運動方程式

Id2θ/dt2=L

Iは慣性モーメント

で表すことができる。

では問題を解いていきます。

物体Mの質点が斜め下方向に移動する際の運動方程式は

M(d2x/dt2)=Mgsinα-F　…（１）

物体Mの質点が回転する際の運動方程式は

I(d2θ/dt2)=Fr　…（２）

問題文よりrθ＝xなのでθ=x/r　を2回微分すると

(d2θ/dt2)=1/r(d2x/dt2)

回転する際の運動方程式（２式）に上式を代入すると

I/r(d2x/dt2)=Fr

問題より慣性力はI=Mr2/2で与えられており　

Mr/2(d2x/dt2)=Fr

M/2(d2x/dt2)=F

物体Mの質点が斜め下方向に移動する運動方程式（１式）をＦで整理すると

F=Mgsindα-M(d2x/dt2)

M/2(d2x/dt2)=Mgsinα-M(d2x/dt2)

(d2x/dt2)=2/3gsinα　となる。

１回積分すると

dx/dt=2t/3gsinα+C1

2回積分で

x=1/3t2gsinα+C1t+C2

（不定積分となるため、不定数が出てくる）

T=0でdx/dt=0　よりC1=0

T=0で　x=0　より　C2=0

X=1/3t2gsinα 

よって回答は②となります。

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