解説：H.sin氏（機械部門）

下図のように長さlで一様な質量mの細長い剛体棒が固定軸Oの回りを微小角θで振動する。重力加速度gとするとき，この棒の固有角振動数として，適切なものはどれか。

①√g/l　②√3g/l　③√6g/l　④√g/2l　⑤√3g/2l

解説

[解くために必要な知識]

　振り子の円周方向にかかる力Nzとすると運動方程式は

Nz ＝ dL/dt = I・dω/dt = I・d2θ/dｔ2

L：角運動量

L＝Iω

I：慣性モーメント

ω：角速度

　となります。

慣性モーメント dI=x2dm

単振動の運動方程式

d2θ/dt2+ω2θ=0

となります。

では問題を解いてみましょう。

　接線方向にかかる点O回りの力は点Oから重心までの距離l/2と接線方向荷重mgsinθの積となり

Nz＝-l/2×mg・sinθ

運動方程式に代入すると

 I・d2θ/dt2＝-l/2×mg・sinθ

　慣性モーメントを求めます。

dI=x2dm　という定義となります。

ここで、重量は微小区間dmを0~Mまで積分したものであり、0からlまでの距離を積分したものに置換えると

∫dm (積分範囲：0,M)=　∫m/l dx (積分範囲：0，l） 

I=∫mx2/l dx(積分範囲：0，l） 

I=[x3/3l](積分範囲：0，l)

＝ml2/3

先ほどの運動方程式

I・d2θ/dt2＝-l/2×mg・sinθ

のIで両辺を割って　Iを代入する

このとき、θが微小なのでsinθ≒θ　とする

d2θ/dt2＝-3l/2l2×gθ＝-3g/2l・θ

単振動の運動方程式より

d2θ/dt2＝-3g/2l・θ＝-ω2θ

ω＝√3g/2l

よって回答⑤となる。

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