令和3年
Ⅲ-6
図に示すように、一様断面を持つ長さlのはりが、B端で固定され、A端に集中モーメントMoが作用している。このとき、はり全体に蓄えられるひずみエネルギーとして、適切なものはどれか。ただし、はりの曲げ剛性をEIとする。
解答
④
解説
図6.1に示すように中立軸からの距離をyとすると、
σ=Moy/I
ε=Moy/EI
となります。
よって単位体積当たりのひずみエネルギーuは次の通りになります。
u=1/2・σε=Mo2y2/2EI2
はりの断面積をAとすると長さlの梁に蓄えられるひずみエネルギーUは次の通り。
∫(A) ：面積A全体を積分
∫ ：0からlまでを積分
U=∫[∫(A)Mo2y2/2EI2・dA]dx=Mo2/2EI2∫(A)y2dA∫dx
=Mo2/2EI2・I∫dx=I∫Mo2/2EI・dx=Mo2l/2EI //
＊先端にモーメントを受ける片持ちはりの出題確率はあまり高くありません。関係式を一通りまとめますので、余力があれば覚えておきましょう。
先端に曲げモーメントを受ける片持ちはりに生じるせん断力は一様にゼロ、モーメントは一様にMoとなります。問題4の図4.3 SFD、BMDを参照してください。
せん断力
F=0（はり全体にわたり一様に）
モーメント
M＝Mo（はり全体にわたり一様に）
たわみ（固定端を基準、x=0とする。）
y=-Mo・x2/2EI
最大たわみ（針の先端において）
y=-Mo・l2/2EI
［参考］たわみの式の導出
図6.2に示すように固定端を基準に左を+x方向とします。（自由端を基準に右を+x方向とした場合、導出プロセスが変わりますが結果は同じになります。）
はりの問題において、たわみｙとモーメントＭ、剛性EIには次の基本的に次の関係があります。
d2y/dx2=-M/EI
先端に曲げモーメントMoを受ける片持ちはりではモーメントはMoです。したがって、
d2y/dx2=-Mo/EI
となります。これを積分します。
dy/dx=-Mo・x/EI+C
固定端における境界条件のうちたわみ角がゼロより、
x=0では、dy/dx=0
よって積分定数Cはゼロになります。
さらに積分します。
dy/dx=-Mo・x/EI
y=1/EI（-Mo・x2/2+C1）
固定端における境界条件のうち、たわみがゼロより、
x=0では、y=0
よって積分定数C1はゼロになります。
y=-Mo・x2/2EI
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