図に示すように、流速U_∞の一様流中に2次元物体が固定されている。それを取り囲む矩形の検査体積ABCDを考える。主流方向をx、垂直方向をyとし、原点は境界ABの中点とする。点Aと原点までの距離をｈ、点Aから・Dまでの距離をLとする。境界AB上における主流方向速度はU_∞で一定であり、境界CD上における主流方向速度のy方向の分布がu(y)で与えられるとき、2次元物体に働く奥行き方向単位長さ当たりの抗力を表す式として、適切なものはどれか。ただし、検査体積ABCDの境界は物体から十分に離れているものとし、境界ABCD上では圧力は一様とみなしてよい。また、流体は非圧縮性流体とし、その密度をρとする。

解答

①

解説

［解くために必要な知識］

運動量の法則

ある系に流入する流体が、その系に及ぼす力と流量Q、流入速度u₁、流出速度u₂、流体密度ρとの間には次の関係があります。

　ΣF=ρQ(u₁-u₂)

では問題を解いていきます。

境界ABにおける流体の圧力をP₁、境界CDにおける流体の圧力をP₂とします。またAB、CDそれぞれの領域における流体の通過断面積をAとします。

このとき境界ＡＢ、ＣＤそれぞれでの流体の力F₁、F₂は

F₁=P₁×A

F₂=P₂×A

となります。

検査体積ABCD内に流体が及ぼす力、逆に言うとABCD内の抵抗力はF₁からF₂を引いたものになります。よって、

ΣF=F₁-F₂=P₁×A-P₂×A=(P₁-P₂)A

運動量の法則から

　　ΣF=ρQ(u₁-u₂)

(P₁-P₂)A=ρQ{U_∞-u(y)}=ρAu(y){U_∞-u(y)}

　P₁-P₂=ρu(y){U_∞-u(y)}

求める抗力Dは上式をy方向に-hからhまでを積分したものになります。

　D=ρ∫u(y){U_∞-u(y)}dy

（積分範囲は-hからh）　//

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