図のように、ばね定数kのばね、半径a、質量Mの中心で回転する均一な円板状の定滑車、質量mのおもり、及び質量がむしできるひもから成る系がある。このおもりは、つりあいの位置を中心に上下に振動することができる。このときの固有周期として、適切なものはどれか。ただし、滑車と紐との間にはすべりがないとし、定滑車は剛体とみなせるとする。

解答

②

[解くために必要な知識]

平成29年に同じ問題が出ています。H29　Ⅲ-21

図19.1のように引張力F_xと回転トルクT₀を受ける円板を考えます。

では問題を解いていきます。

図19.3に示すようにひもに生じる張力をfとします。

このとき、張力fは鉛直上向き（mgと反対方向）に働くため、直線運動に関する運動方程式は次の通りです。

　md²x/dt²=mg-f

回転運動の運動方程式は

　①張力fによるトルクT_fは半径aから、T_f=f・a

　②ばね力によるトルクT_kはフックの法則と半径aから　T_k=kx・a

Tfは右向き、Tkは左向きに作用するため運動方程式は次の通りです。

　Id²θ/dt²=fa-kxa=(f-kx)a

ここで回転角θと半径a、移動距離xには次の関係があります。

　x=aθ

よって

　(I/a)(d²x/dt²)=(f-kx)a

　f=(I/a²)(d²x/dt²)+kx

直線運動の運動方程式に回転運動の運動式から得られたfを代入します。

　md²x/dt²=mg-(I/a²)(d²x/dt²)-kx

　(m+I/a²)(d²x/dt²)+kx=mg

ここでI=1/2mr²より（問題ではm=M、r=a）　

(m+M/2)(d²x/dt²)+kx=mg

よって

　τ=2π√(m/k)

　τ=2π√[(M+2m)/2k]　//

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