Ⅲ-17

図に示すように、滑らかな床上に質量mの物体があり、角度αでばねを介して壁に取り付けられている。ばね定数をkとし、物体が微小並進運動するときの固有角振動数として、適切なものはどれか。

解答

①

[解くために必要な知識]

質量mとばねkを持つ系の直線運動方程式は次の通りです。

　md²x/dt²+kx=0

　固有角振動数　ω_n=√(k/m)

固有周期　　　τ=2π/ω_n

　固有振動数　　f=1/τ=ω_n/2π

固有角振動数について補足します。md²x/dt²+kx=0⇒d²x/dt²=-k/m・x=-ω_n²x

＊これらは覚えておきましょう。

では問題を解いていきます。

質量mに作用する力

　F₁=ma=md²x/dt²・・・(1)

ばねkに作用する力

図17.1に示すように、x方向に質量mがx移動したときのばねの伸びをXとします。このときX=xcosαとなります。

よってばねの復元力F=k・xcosα

このばねの水平分力F_xはF・cosαであり、

Fx=k・xcosα・cosα=kxcos²α

となります。

この式と(1)式とで運動方程式が成り立ちます。すなわち、

　md²x/dt²+kxcos²α=0

　d²x/dt²=-k/m・xcos²α

よって固有角振動数ω_n=√(k/m)・cosα　//

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