Ⅲ-18

図に示すように、質量m、半径rの一様材質で均一な厚さの円板が、壁とばね定数kのばねで接続され、床面を滑らずに転がりながら振動している。この振動系の固有角振動数として、最も適切なものはどれか。

 

 

◆この系における直線運動の運動方程式

　円板を引っ張る力をFx、床面から受ける摩擦抵抗力をfとします。さらに円板の質量をm、直線運動の加速度をaとします。

　・F=ma=md²x/dt²=Fx-f

 

◆この系における回転運動の運動方程式

　円板に加わるトルクをT₀、各加速度をα、慣性モーメントをI、円板の半径をrとします。

　・T=Iω=Id²θ/dt²=T₀+fr

円板の慣性モーメント　I=mR²/2

 

なお、移動距離xと回転角度θは円板の半径を用いて次の関係があります。

　x=rθ

 

◆質量M、ばね定数Kを持つ1自由度系

運動方程式　Md²x/dt²+Kx

固有角振動数ω_n=√(K/M)

R2　Ⅲ-15参照ください。

 

 

＊円板の慣性モーメントの式も含めて、上記関係は覚えておきましょう。

 

 

問題の力関係を整理したものを図18.2に示します。

 

 

移動距離xとばね定数kから、円板を引っ張る力Fxは、

　Fx=kx　　　・・・（１）

 

回転トルクは与えられていないため、

　T₀=0　　　・・・（２）

 

回転の運動方程式から

T=Id²θ/dt²=(mr²/2)×d²θ/dt²=fr

mr/2×d²θ/dt²=f　　・・・（３）

 

 

ここでx=rθより、θ=x/rを（３）に代入します。

mr/2×d²(x/r)/dt²=m/2×d²x/dt²=f　・・・（４）

 

直線運動の運動方程式から

F=md²x/dt²=kx-f

この式に（４）式を代入します。

md²x/dt²=kx-m/2×d²x/dt²

 

これを変形して整理すると次の通りです。

　3m/2×d²x/dt²-kx=0

 

M=3m/2　、　K=k　、固有角振動数は

  

ω_n=√(K/M)=√(k/3m/2)=√(2k/3m)　　//

<前の問題へ　次の問題へ>

 

技術士一次試験対策Topへ戻る

 

技術士一次試験対策　令和2年へ戻る