図に示すように、中実丸棒の一端が剛体壁に固定され、他端にねじりモーメントTが作用している場合を考える。中実丸棒の直径がn倍になると、中実丸棒に発生する最大せん断応力はk倍になる。次のうち、kとして最も適切なものはどれか。

解答

②

解説

［解くために必要な知識と周辺知識］

図7.1に示すように長さL、直径d（半径R）の中実丸軸の片端を固定し、片端にトルクTを作用させます。このとき、先端のねじれ角をψ（プサイ）とします。

軸の横弾性係数をG、断面二次極モーメントをIpとするとねじれ角ψは次の通りです。

　　ψ=TL/GIp

また、単位長さ当たりのねじれ角を比ねじれ角θと言います。

　　θ=ψ/L

このときのせん断応力τ

　　τ=Gγ=GRψ/L

ただし、γはせん断ひずみで次式です。

　　γ=Rθ

ねじりトルクTとせん断応力τには次の関係があります。

　　T=τIp/R　

τ=T/（Ip/R）=T/Zp

なお、断面時に極モーメントIpならびに極断面係数Zpは次の通りです。

Ip=πd⁴/32

Zp=πd³/16

よって、ねじれ角ψとせん断応力τは次の通りになります。

　　ψ=32TL/πd⁴

　　τ=16T/πd³

図7.2に示すような中空丸軸の場合は次の通りです。

Ip=π(d₂⁴-d₁⁴)/32

Zp=π(d₂⁴-d₁⁴)/16d₂

　　　ψ=32TL/G(d₂⁴-d₁⁴)

　　　τ=16d₂T/π(d₂⁴-d₁⁴)

では問題を解いていきます。

中実丸棒に発生するせん断力τは次の通りです。

　　τ=16T/πd³

元の直径をDとするとねじりモーメントTを作用させると生じるせん断力τ₀は次の通りです。

　　τ₀=16T/πD³

いま、直径dは題意よりd=nDです。

このときのせん断応力は次の通りです。

　　τ=16T/π(nD)³=1/n³・16T/πD³　　//

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