図に示すように、円柱（長さl、断面積A₁、縦弾性係数E₁、線膨張係数α₁）と円筒（長さl、断面積A₂、縦弾性係数E₂、線膨張係数α₂）を同軸で組合わせて、両端を剛体板で接合している。円柱と円筒の両方に応力が生じていない状態から、温度がΔTだけ上昇したとき、円柱と円筒の伸び量Δlとして、最も適切なものはどれか。

ただし、α₁<α₂とし、円柱と円筒の半径方向の変形は無視できるものとする。

 

 

解答

④

 

解説

［解くために必要な知識と周辺知識］

　長さL、線膨張係数αの材料をΔT加熱したときの伸びΔLは次の通りです。

　　ΔL=αLΔT

 

　応力σとひずみεには次の関係があります。

　　ε=ΔL/L

　　σ=Eε

　　σ=EΔL/L=P/A

　∴ΔL=PL/AE

 

　熱応力の問題は大別すると2つのパターンに分かれます。

 

パターン1　

　長さLの金属がその両端を剛体で拘束されている。温度ΔTを加えたときに生じる圧縮力を問う。

 

 

 

　

パターン2

 

　長さLの異なる金属（金属1、金属2）の両端を剛体で接合する。温度ΔTを加えたときに生じる伸び量ΔLを問う。

　図3.2に示すように温度ΔTを加えたとき、金属1、2はそれぞれΔL₁’、ΔL₂’伸びようとします。線膨張係数がα₁<α₂とすると、金属1より金属2の方がより伸びるという事です。

しかし今、2つの金属、円柱と円筒は両端を剛体で接合されているため、金属1は本来ΔL₁’しか伸びないのですが、剛体を通じて金属2に引っ張られてさらに伸びます。この引張力による伸び量をΔL₁”とします。

 

ΔL₁’=Lα₁ΔT

　ΔL₁”=PL/E₁A₁

ただし、Pは金属1に生じる引張力であり、その大きさは金属2に生じる圧縮力と同じになります。

 

金属1の全体の伸びΔL₁はこの2つを合わせたものになります。

　ΔL₁=ΔL₁’+ΔL₁”　（1）

 

逆に金属2はΔL₂’だけ伸びようとするのですが、やはり剛体を通じて金属1の抵抗を受けて伸びきることができません。この抵抗（圧縮力）による縮み量をΔL₂”とします。

ΔL₂’=Lα₂ΔT

　ΔL₂”=-PL/E₂A₂

ただし、Pは金属2に生じる圧縮力。

 

金属2の全体の伸びΔL₂はこの2つを合わせたものになります。

　ΔL₂=ΔL₂’-ΔL₂”　（2）

 

　金属1と金属2の伸び量は剛体で接合されているため同じになります。

　　ΔL₁=ΔL₂

 

 

 

　(3)式より

　Lα₁ΔT+PL/E₁A₁=Lα₂ΔT-PL/E₂A₂

　α₁ΔT+P/E₁A₁=α₂ΔT+P/E₂A₂

　　　P/E₁A₁+P/E₂A₂=α₂ΔT-α₁ΔT

　　　(1/E₁A₁+1/E₂A₂)P=(α₂-α₁)ΔT

　　　P(E₁A₁+E₂A₂)/E₁A₁E₂A₂=(α₂-α₁)ΔT

　　　P=(α₂-α₁)ΔTE₁A₁E₂A₂/(E₁A₁+E₂A₂)

 

　ひずみの式より、ε=ΔL/L⇒ΔL=εL

　ここで円柱と円筒の伸び量ΔL、初期長さLは同じでありそのひずみも同じとなります。円柱の歪に着目します。

 

◆熱によるひずみε_1h

　ε_1h=α₁ΔT　　　(a)

◆引張りによるひずみ

　ε_1P=P/E₁A₁　　　(b)

 

　全体の歪は(a)(b)を加えたものになります。

　ε=α₁ΔT+P/E₁A₁

 

　ΔL=εL=(α₁ΔT+P/E₁A₁)L

 

　この式に先に求めたPを代入します。

 

　　ΔL=εL=[α₁ΔT+{(α₂-α₂)ΔTE₁A₁E₂A₂/(E₁A₁+E₂A₂)}/E₁A₁]L

　この式を整理すると次式を得ます。

 

　ΔL=(E₁A₁α₁+E₂A₂α₂)ΔTL/(E₁A₁+E₂A₂)　　//

 

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