質量mの薄い板をばね定数kのばねで吊るして空気中で振動させたとき周期はTであった。図のようにこの板全体を液体中に浸して振動させると、液体の抵抗により減衰し、周期はTのn(>1)倍となった。板に作用する抵抗力が板と液体の接触面積Sと速度に比例するとき、その比例係数として、適切なものはどれか。

では問題を解いていきます。

求める比例係数をAとします。板に作用する抵抗力が板と液体の接触面積Sと速度に比例するとありますから、この系は速度に比例する抵抗力=粘性を有する系であり、板に作用する抵抗力は　AS dx/dt　となります。

質量mとばねkおよび粘性cを持つ系の直線運動方程式は次の通りでした。

　md²x/dt²+cdx/dt+kx=0

液体に浸す前のこの系の周期Tは粘性を持たないため、

T=2π/ω_n

液体に浸したときの周期をT_nとすると、問題からTのn倍になるので

T_n=n・2π/ω_n　　(1)

一方で、粘性をもつ系の周期と固有角振動数は

T_n=2π/ω_nc

　ω_nc=√(1-ζ²)ω_n

となるため、

　T_n=2π/[√(1-ζ²)ω_n]　　(2)

(1)、(2)式から、

n・2π/ω_n=2π/[√(1-ζ²)ω_n]

　n=1/√(1-ζ²)

　1-ζ²=1/n²

ここで、ζ=c/2√(mk)を代入します。

　1-c²/4mk=1/n²

　c²/4mk=1-1/n²

　c²=4mk(n²-1)/n²

　c=2√[mk(n²-1))/n

　題意から粘性係数cは比例係数Aと接触面積に比例します。c=AS　よって

　AS=2√[mk(n²-1))/n

　A=2√[mk(n²-1))/nS　　//

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