図のように長さlの軽い糸の先に質量mのおもりをつけた単振り子に、最下点で水平にv₀の初速を与える。v0が小さいとき、おもりの運動は鉛直面内の最下点付近に限られ、θ=Asin(ωt)で表される単振動となる。この振幅Aとして最も適切なものはどれか。ただし、ωは角振動数、tは時間であり、gは重力加速度とする。

 

 

解答

②

 

 

解説

［解くために必要な知識と周辺知識］

エネルギー保存則

◆質量mの物体が速度vで直線運動しているときの運動エネルギ―E_M

　　E_M=1/2・mv²

　　

◆質量mの物体が高さhの位置にあるときの位置エネルギーE_H

　　E_H=mgh

 

 

半角の公式

　sin²(θ/2)=(1-cosθ)/2

 

θが微小のとき

　sinθ≅θ

 

＊三角関数の基本的な性質は覚えておきましょう。

 

では問題を解いていきます。

 

 

 

θ=Asin(ωt)より、θを求めればそれが振幅です。（sin(ωt)=1のときの値）

図18.2に示すように、おもりが最上点に達したときの最下点との差（高さ）をHとします。このときHは図から明らかなように、H=L-Lcosθとなります。

 

 

よって最上点にあるときの位置エネルギーE_Hは次の通りです。

 

　E_H=mgL(1-cosθ)

 

一方、最下点での速度をv₀とすると運動エネルギーE_Mは次の通りです。

　E_M=1/2・mv₀²

 

エネルギー保存則から

 

mgL(1-cosθ)=1/2・mv₀²

1-cosθ=v₀²/2gl　　　(1)

 

半角の公式より

1-cosθ=2sin²(θ/2)

 

θが微小のとき、

　2sin²(θ/2)≅2(θ/2)²=θ²/2

 

よって(1)式は次のようになります。

　θ²/2=v₀²/2gl

　θ²=v₀²/gl

 

　θ=v₀/√(lg)　　　　　//

 

＜前の問題へ　次の問題へ＞

 

技術士試験対策Topへ戻る

 

 

令和1年解答解説へ戻る